Determinants Test - 33

$$\begin{vmatrix} \cos { 2x }  & \sin ^{ 2 }{ x }  & \cos { 4x }  \\ \sin ^{ 2 }{ x }  & \cos { 2x }  & \cos ^{ 2 }{ x }  \\ \cos { 4x }  & \cos ^{ 2 }{ x }  & \cos { 2x }  \end{vmatrix}={ a }_{ 0 }+{ a }_{ 1 }\sin { x } +{ a }_{ 2 }\sin ^{ 2 }{ x } +.....$$

Put $$x=0$$

$$\Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}={ a }_{ 0 }$$

$$\Rightarrow a_{0}=-1$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \cot { \cfrac { A }{ 2 }  }  & \cot { \cfrac { B }{ 2 }  }  & \cot { \cfrac { C }{ 2 }  }  \\ \tan { \cfrac { B }{ 2 }  } +\tan { \cfrac { C }{ 2 }  }  & \tan { \cfrac { C }{ 2 }  } +\tan { \cfrac { A }{ 2 }  }  & \tan { \cfrac { A }{ 2 }  } +\tan { \cfrac { B }{ 2 }  }  \end{vmatrix}=0$$

$$\Rightarrow \tan { \cfrac { A }{ 2 }  } \cot { \cfrac { B }{ 2 }  } -\tan { \cfrac { A }{ 2 }  } \cot { \cfrac { C }{ 2 }  } +\tan { \cfrac { B }{ 2 }  } \cot { \cfrac { C }{ 2 }  } -\tan { \cfrac { B }{ 2 }  } \cot { \cfrac { A }{ 2 }  } +\tan { \cfrac { C }{ 2 }  } \cot { \cfrac { A }{ 2 }  } -\tan { \cfrac { C }{ 2 }  } \cot { \cfrac { B }{ 2 }  } =0$$

$$\tan { \cfrac { A }{ 2 }  } (\cot { \cfrac { B }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { C }{ 2 }  } )+\tan { \cfrac { B }{ 2 }  } (\cot { \cfrac { C }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { A }{ 2 }  } )+\tan { \cfrac { C }{ 2 }  } (\cot { \cfrac { A }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { B }{ 2 }  } )=0$$

$$(\cot { \cfrac { B }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { C }{ 2 }  } )=0 , (\cot { \cfrac { C }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { A }{ 2 }  } )=0, (\cot { \cfrac { A }{ 2 }  } -\cot { \cfrac { B }{ 2 }  } )=0$$

$$\Rightarrow A=B=C$$

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ { ^{ m }{ C } }_{ 1 } & { ^{ m+1 }{ C } }_{ 1 } & { ^{ m+2 }{ C } }_{ 1 } \\ { ^{ m }{ C } }_{ 2 } & { ^{ m+1 }{ C } }_{ 2 } & { ^{ m+2 }{ C } }_{ 2 } \end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m+1 & m+2 \\ \dfrac { m(m-1) }{ 2 }  & \dfrac { m(m+1) }{ 2 }  & \dfrac { (m+2)(m+1) }{ 2 }  \end{vmatrix}$$

$${ C }_{ 1 }\rightarrow { C }_{ 1 }-{ C }_{ 2 },{ C }_{ 2 }\rightarrow { C }_{ 2 }-{ C }_{ 3 }\quad $$

$$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & m+2 \\ -m & -(m+1) & \dfrac { (m+2)(m+1) }{ 2 }  \end{vmatrix}$$

Given , $$p+q+r=0=a+b+c$$

$$\begin{vmatrix} pa & qb & rc \\ qc & ra & pb \\ rb & pc & qa \end{vmatrix}$$

$$=pa(qr{ a }^{ 2 }-{ p }^{ 2 }bc)-qb({ q }^{ 2 }ac-pr{ b }^{ 2 })+rc(pq{ c }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }ab)$$

$$=pqr{ a }^{ 3 }-{ p }^{ 3 }abc-{ q }^{ 3 }abc+pqr{ b }^{ 3 }+pqr{ c }^{ 3 }-{ r }^{ 3 }abc$$

$$=pqr({ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+{ c }^{ 3 })-abc({ p }^{ 3 }+{ q }^{ 3 }+{ r }^{ 3 })$$

$$=pqr[{ (a+b+c) }^{ 3 }+3abc(a+b+c)]-abc[{ (p+q+r) }^{ 3 }+3pqr(p+q+r)] $$

$$=0$$

$$\Delta=\sum _{ r=2 }^{ n }{ { \left( -2 \right)  }^{ r } } \begin{vmatrix} { ^{ n-2 }{ C } }_{ r-2 } & { ^{ n-2 }{ C } }_{ r-1 } & { ^{ n-2 }{ C } }_{ r } \\ -3 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

On expanding , we get
$$=\sum_{r=2}^n (-2)^r [^{ n-2 }{ C  }_{ r-2 }+2^{ n-2 }{ C  }_{ r-1 }+ ^{ n-2 }{ C }_{ r }]$$
$$=\sum_{r=2}^n (-2)^r [^{ n-2 }{ C }_{ r-2 }+^{ n-2 }{ C  }_{ r-1 }+ ^{ n-2 }{ C  }_{ r-1 }+^{ n-2 }{ C  }_{ r }]$$
$$= \sum_{r=2}^n(-2)^r[^{ n-1 }{ C  }_{ r-1 }+^{ n-1 }{ C  }_{ r }]$$
$$=\sum_{r=2}^n (-2)^r [^nC_r]$$
$$\Delta =(-2)^{ 2 }\quad ^{ n }C_{ 2 }+(-2)^{ 3 }\quad ^{ n }C_{ 3 }+......+(-2)^{ n }\quad ^{ n }C_{ n }$$  .....(2)

Now, we will expand $$(1-2)^n$$
$$(1-2)^n=^nC_0+^nC_1(-2)+^nC_2(-2)^4+^nC_3(-2)^3+.....^nC_n(-2)^n$$
$$\Rightarrow (-1)^n-1+2n=^nC_2(-2)^4+^nC_3(-2)^3+.....^nC_n(-2)^n$$
Using this in (1), we get
$$\Delta=2n-1+(-1)^n$$

$$\quad \Delta =\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{vmatrix}$$

$$\Rightarrow \Delta={ a }_{ 1 }({ b }_{ 2 }{ c }_{ 3 }-{ b }_{ 3 }{ c }_{ 2 })+{ b }_{ 1 }({ a }_{ 3 }{ c }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 3 })+{ c }_{ 1 }({ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }-{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 })$$

We have to find $$\begin{vmatrix} { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{vmatrix}$$

Here, $$B_{2}$$ is cofactor of element $$b_{2}$$
So, $$B_{2}=\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 3 } & { c }_{ 3 } \end{vmatrix}$$
$$\Rightarrow B_{2}=a_{1}c_{3}-a_{3}c_{1}$$

$$C_{2}$$ is cofactor of element $$c_{2}$$
So, $$C_{2}=-\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 3 } & { b }_{ 3 } \end{vmatrix}$$
$$\Rightarrow C_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$$

$$B_{3}$$ is cofactor of element $$b_{3}$$
So, $$B_{3}=-\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { c }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { c }_{ 2 } \end{vmatrix}$$
$$\Rightarrow B_{3}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}$$

 $$C_{3}$$ is cofactor of element $$c_{3}$$
So, $$C_{3}=\begin{vmatrix} { a }_{ 1 } & { b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } & { b }_{ 2 } \end{vmatrix}$$
$$\Rightarrow C_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$$

Now,  $$\begin{vmatrix} { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \\ { B }_{ 3 } & { C }_{ 3 } \end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix} a_{ 1 }c_{ 3 }-a_{ 3 }c_{ 1 } & a_{ 3 }b_{ 1 }-a_{ 1 }b_{ 3 } \\ a_{ 2 }c_{ 1 }-a_{ 1 }c_{ 2 } & a_{ 1 }b_{ 2 }-a_{ 2 }b_{ 1 } \end{vmatrix}$$

$$={ a_{ 1 } }^{ 2 }{ b }_{ 2 }{ c }_{ 3 }-{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }{ c }_{ 3 }-{ a }_{ 1 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }{ c }_{ 1 }-{ a_{ 1 } }^{ 2 }{ b }_{ 3 }{ c }_{ 2 }+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }{ c }_{ 1 }+{ a }_{ 1 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }{ c }_{ 2 }$$

$$={ a }_{ 1 }[{ a }_{ 1 }({ b }_{ 2 }{ c }_{ 3 }-{ b }_{ 3 }{ c }_{ 2 })+{ b }_{ 1 }({ a }_{ 3 }{ c }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ c }_{ 3 })+{ c }_{ 1 }({ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }-{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 })]$$

$$=a_{1}\Delta$$

Discriminant of $$a{ x }^{ 2 }+bx+c=0$$ is $$4{ b }^{ 2 }-4ac<0\Rightarrow { b }^{ 2 }-ac<0$$
Then

Let $$D=\begin{vmatrix} \lambda  & c & -b \\ -c & \lambda  & a \\ b & -a & \lambda  \end{vmatrix}$$

Given, $$\begin{vmatrix} 6i & -3i & 1 \\ 4 & 3i & -1 \\ 20 & 3 & i \end{vmatrix}=x+iy$$

Now, $$\begin{vmatrix} 6i & -3i & 1 \\ 4 & 3i & -1 \\ 20 & 3 & i \end{vmatrix}$$