Inverse Trigonometric Functions Test - 56

$$\begin{matrix} { \sin ^{ -1 }  }\left( { \frac { a }{ { 1-\left( { -\frac { a }{ 3 }  } \right)  } }  } \right) +{ \cos ^{ -1 }  }\left( { \frac { 1 }{ { 1-b } }  } \right) =\frac { \pi  }{ 2 }  \\ \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \left[ { \because Angle\, \, are\, \, in\, \, G.P\, \, then\, \, sum\, \, of\, inite\, G.P\,  } \right]  \\ { \sin ^{ -1 }  }\left( { \frac { a }{ { 1+\frac { a }{ 3 }  } }  } \right) +{ \cos ^{ -1 }  }\left( { \frac { 1 }{ { 1-b } }  } \right) =\frac { \pi  }{ 2 } \, is\, \, \left( { \frac { a }{ { 1-r } }  } \right)  \\ i{ n^{ -1 } }\left( { \frac { { 3a } }{ { a+3 } }  } \right) +{ \cos ^{ -1 }  }\left( { \frac { 1 }{ { 1-b } }  } \right) =\frac { \pi  }{ 4 } +\frac { \pi  }{ 4 } .........\left( i \right)  \\ by\, \, inverse\, \, property\, \, if\, angle\, \, of\, \sin  \, \, \, and\, \cos  ine\, \, is\, \, same\, \, then\, \,  \\ { { Sin }^{ -1 } }x\, \, +{ \cos ^{ -1 }  }x=\frac { \pi  }{ 2 }  \\ By\, \, compearing\, \,  \\ { { Sin }^{ -1 } }\left( { \frac { { 3a } }{ { a+3 } }  } \right) =\frac { \pi  }{ 4 }  \\ { Sin }\frac { \pi  }{ 4 } =\frac { { 3a } }{ { a+3 } }  \\ \frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } =\frac { { 3a } }{ { a+3 } }  \\ a+3=3\sqrt { 2a }  \\ 3=a(3\sqrt { 2-1 }  \\ a=\frac { 3 }{ { 3\sqrt { 2-1 }  } }  \\ { \cos ^{ -1 }  }\left( { \frac { 1 }{ { 1-b } }  } \right) =\frac { \pi  }{ 4 }  \\ \cos  \frac { \pi  }{ 4 } =\frac { 1 }{ { 1-b } }  \\ \frac { 1 }{ { \sqrt { 2 }  } } =\frac { 1 }{ { 1-b } }  \\ \sqrt { 2 } =1-b \\ b=1-\sqrt { 2 }  \\  \end{matrix}$$