Integrals Test - 28

$$I_{ 2 }=3\int _{ \frac { 1 }{ 3 }  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } e^{ \left( 3x-2 \right) ^{ 2 } }dx$$
$$\displaystyle x=\frac { -y-3 }{ 3 } $$ 
$$\displaystyle dx=-\frac { dy }{ 3 } $$ 
$$\displaystyle \Rightarrow I_{ 2 }=3\int _{ \frac { 1 }{ 3 }  }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } e^{ \left( 3x-2 \right) ^{ 2 } }dx=-\int _{ -4 }^{ -5 } e^{ \left( y+5 \right) ^{ 2 } }dx=-I_{ 1 }$$ 
$$\displaystyle \Rightarrow I_{ 1 }+I_{ 2 }=0$$

Substitute $$\displaystyle \log x=t \therefore \left ( 1/x \right )dx=dt$$ and adjust the limits
$$\displaystyle \therefore I= \int t\:dt=\left [ \frac{1}{2}t^{2} \right ]_{\log a}^{\log b}$$
$$\displaystyle \therefore I= \frac{1}{2}\left [ \left ( \log b \right )^{2}-\left ( \log a \right )^{2} \right ]$$
$$\displaystyle = \frac{1}{2}\left [ \left ( \log b+\log a \right )\left ( \log b-\log a \right ) \right ]$$
$$\displaystyle \therefore I= \frac{1}{2} \log\left ( ab\right )\cdot \log \frac{b}{a}.$$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ \dfrac { \pi  }{ 2 }  }{ \dfrac { 1 }{ sin{ x } } dx } =\int _{ 0 }^{ \dfrac { \pi  }{ 2 }  }{ \csc { x }  } dx$$
Multiply numerator and denominator by $$cot{ x }+\csc { x } $$, we get
$$\displaystyle \therefore I=-\int _{ 0 }^{ \dfrac { \pi  }{ 2 }  }{ \dfrac { -cot{ x }\csc { x } -\csc ^{ 2 }{ x } dx }{ cot{ x }+\csc { x }  } dx } $$
Substitute $$t=cot{ x }+\csc { x } \Rightarrow dt=\left( -\csc ^{ 2 }{ x } -cot{ x }\csc { x }  \right) dx$$
$$\displaystyle \therefore I=-\int _{ 0 }^{ 1 }{ \dfrac { 1 }{ t }  } dt=\left[ -\log { t }  \right] _{ 0 }^{ 1 }=0$$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \sqrt { { x }^{ 2 }+2x }  } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \left( x+1 \right) \sqrt { { \left( x+1 \right)  }^{ 2 }-1 }  } dx } $$
Substitute $$u=x+1\Rightarrow du=dx$$
$$\displaystyle\therefore I=\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  } du } $$
Substitute $$\displaystyle s=\sqrt { { u }^{ 2 }-1 } \Rightarrow ds=\frac { u }{ \sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  } du$$
$$\displaystyle\therefore I=\int _{ 0 }^{ \sqrt { 3 }  }{ \frac { 1 }{ { s }^{ 2 }+1 } ds } ={ \left[ \tan ^{ -1 }{ s }  \right]  }_{ 0 }^{ \sqrt { 3 }  }=\frac { \pi  }{ 3 } $$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ \dfrac { \pi  }{ 4 }  }{ \left( \sqrt { \tan { x }  } -\sqrt { cot{ x } }  \right)  } dx=-\int _{ 0 }^{ \dfrac { \pi  }{ 4 }  }{ \frac { cos{ x }-sin{ x } }{ \sqrt { cos{ x }sin{ x } }  } dx } $$
Substitute $$\left( sin{ x+cos{ x } } \right) =t\Rightarrow 2sin{ x }cos{ x }={ t }^{ 2 }-1$$
$$\displaystyle \therefore I=\sqrt { 2 } \int _{ 1 }^{ \sqrt { 2 }  }{ \frac { dt }{ \sqrt { { t }^{ 2 }-1 }  }  } \\ =\left[ \sqrt { 2 } \log { \left( t+\sqrt { { t }^{ 2 } } -1 \right)  }  \right] _{ 0 }^{ \sqrt { 2 }  }\\ =\sqrt { 2 } \log { \left( \sqrt { 2 } -1 \right)  } $$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ 2a }{ \frac { { x }^{ \frac { 3 }{ 2 }  } }{ \sqrt { 2a-x }  } dx } $$

Substitute $$\displaystyle u=\sqrt { x } \Rightarrow du=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  } dx$$ 

$$\displaystyle I=2\int _{ 0 }^{ \sqrt { 2a }  }{ \frac { { u }^{ 4 } }{ \sqrt { 2a-{ u }^{ 2 } }  } du } $$

Substitute $$u=\sqrt { 2a } \sin { t } \Rightarrow du=\sqrt { 2a } \cos { t } dt$$
$$\displaystyle I=2\sqrt { 2a } \int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left( 2\sqrt { 2 } { a }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\sin ^{ 4 }{ t }  \right) dt } =8{ a }^{ 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 4 }  }{ \sin ^{ 4 }{ t } dt } $$

Using reduction formulae
$$\displaystyle \int { \sin ^{ m }{ x } dx } =\frac { -\cos { x } \sin ^{ m-1 }{ x }  }{ m } +\frac { m-1 }{ m } \int { \sin ^{ m-2 }{ x } dx } $$

$$\displaystyle I={ \left[ -2{ a }^{ 2 }\sin ^{ 3 }{ t } \cos { t }  \right]  }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }+6{ a }^{ 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \sin ^{ 2 }{ t } dt } $$

$$\displaystyle =0+6{ a }^{ 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left( \frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { 2t }  \right) dt } $$

$$\displaystyle ={ \left[ 3{ a }^{ 2 }t-3{ a }^{ 2 }\sin { t } \cos { t }  \right]  }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }=\frac { 3\pi { a }^{ 2 } }{ 2 } $$

$$f(x)=A\sin{(\pi x/2)}+B$$

$$\displaystyle I=\int _{ a }^{ b }{ \frac { \log { x }  }{ x }  } dx={ \left[ \log { x } .\log { x }  \right]  }_{ a }^{ b }-\int _{ a }^{ b }{ \frac { \log { x }  }{ x }  } dx\\ \Rightarrow 2I={ \left[ { \left( \log { x }  \right)  }^{ 2 } \right]  }_{ a }^{ b }={ \left( \log { b }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \log { a }  \right)  }^{ 2 }$$
$$\displaystyle \Rightarrow I=\frac { 1 }{ 2 } \left( \log { b } +\log { a }  \right) \left( \log { b } -\log { a }  \right) =\frac { 1 }{ 2 } \log { ab } \log { \frac { b }{ a }  } $$