Integrals Test - 52

$$I_{ n }=\int _{ 0 }^{ \pi /4 } \tan ^{ n }{ x } \sec ^{ 2 } xdx$$
Let, $$t=\tan { x } $$   $$\Rightarrow \sec ^{ 2 } xdx=dt$$

Therefore, $$I_{ n }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { t }^{ n } } dt={ \left( \dfrac { t }{ n+1 }  \right)  }_{ 0 }^{ 1 }=\frac { 1 }{ n } $$
Therefore, $$I_{ 1 },I_{ 2 },I_{ 3 }\cdots $$ are $$\dfrac { 1 }{ 2 } ,\dfrac { 1 }{ 3 } ,\dfrac { 1 }{ 4 } ,\cdots $$ which are in H.P

Ans: C

$$\displaystyle \int _{ 1/e }^{ \tan  x } \frac { t }{ 1+t^{ 2 } } \, dt\, +\, \int _{ 1/e }^{ \cot  x } \frac { dt }{ t\left( 1+t^{ 2 } \right)  } $$

$$\displaystyle =\int _{ 1/e }^{ \tan  x } \frac { t }{ 1+t^{ 2 } } \, dt\, +\, \int _{ 1/e }^{ \cot  x } \left( \frac { 1 }{ t } -\frac { 1 }{ 1+{ t }^{ 2 } }  \right) dt$$

$$=\frac { 1 }{ 2 } { \left[ \log { \left( 1+{ t }^{ 2 } \right)  }  \right]  }_{ 1/e }^{ \tan { x }  }+{ \left[ \log { t }  \right]  }_{ 1/e }^{ \cot { x }  }-{ \left[ \tan ^{ -1 }{ t }  \right]  }_{ 1/e }^{ \cot { x }  }\\ =1$$

Let $$\displaystyle I=\int { \frac { 1 }{ \sin { 2x }  } dx } =\int { \csc { 2x } dx } $$
Put $$2x=t\Rightarrow 2dx=dt$$
$$\displaystyle I=\frac { 1 }{ 2 } \int { \csc { t } dt } $$
Multiply numerator and denominator by $$\cot { t } +\csc { t } $$

$$\displaystyle I=\frac { 1 }{ 2 } \int { -\frac { -\csc ^{ 2 }{ t } -\cot { t } \csc { t }  }{ \cot { t } +\csc { t }  } dt } $$
Put $$\cot { t } +\csc { t } =u\Rightarrow \left( -\csc ^{ 2 }{ t } -\cot { t } \csc { t }  \right) dt=du$$

$$\displaystyle I=-\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ u } du } =-\frac { 1 }{ 2 } \log { u } =-\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( \cot { t } +\csc { t }  \right)  } $$
$$\displaystyle =-\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( \cot { 2x } +\csc { 2x }  \right)  } =-\frac { 1 }{ 2 } \log { \left( \cot { x }  \right)  } $$
Hence 
$$\displaystyle \int _{ \pi /6 }^{ \pi /4 }{ \frac { 1 }{ \sin { 2x }  } dx } =-\frac { 1 }{ 2 } { \left[ \log { \left( \cot { x }  \right)  }  \right]  }_{ \pi /6 }^{ \pi /4 }=\frac { 1 }{ 2 } \log { \sqrt { 3 }  } $$

$$\displaystyle \int _{ 1/e }^{ \tan  x } \frac { t }{ 1+t^{ 2 } } \, dt\, +\, \int _{ 1/e }^{ \cot  x } \frac { dt }{ t\left( 1+t^{ 2 } \right)  } $$

$$\displaystyle =\int _{ 1/e }^{ \tan  x } \frac { t }{ 1+t^{ 2 } } \, dt\, +\, \int _{ 1/e }^{ \cot  x } \left( \frac { 1 }{ t } -\frac { 1 }{ 1+{ t }^{ 2 } }  \right) dt$$

$$=\dfrac { 1 }{ 2 } { \left[ \log { \left( 1+{ t }^{ 2 } \right)  }  \right]  }_{ 1/e }^{ \tan { x }  }+{ \left[ \log { t }  \right]  }_{ 1/e }^{ \cot { x }  }-{ \left[ \tan ^{ -1 }{ t }  \right]  }_{ 1/e }^{ \cot { x }  } =1$$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ \alpha  } \dfrac { dx }{ 1-\cos  x\cos  \alpha  } $$

$$\displaystyle =\int _{ 0 }^{ \alpha  }{ \dfrac { dx }{ \left( \cos ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  } +\sin ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  }  \right) -\cos { \alpha  } \left( \cos ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  } -\sin ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  }  \right)  }  } $$

$$\displaystyle =\int _{ 0 }^{ \alpha  }{ \dfrac { dx }{ \left( 1-\cos { \alpha  }  \right) \cos ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  } +2\cos ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } \sin ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  }  }  } $$

$$\displaystyle =\dfrac { 1 }{ 2 } \int _{ 0 }^{ \alpha  }{ \dfrac { \sec ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } \sec ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  }  }{ \tan ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } +\tan ^{ 2 }{ \dfrac { x }{ 2 }  }  } dx } $$

Substitute $$\displaystyle \tan { \dfrac { x }{ 2 }  } =t$$

$$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ \tan { \dfrac { \alpha  }{ 2 }  }  }{ \dfrac { \sec ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  }  }{ \tan ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } +{ t }^{ 2 } } dt } =\sec ^{ 2 }{ \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } \cot { \dfrac { \alpha  }{ 2 }  } { \left[ \tan ^{ -1 }{ \dfrac { 1 }{ \tan { \dfrac { \alpha  }{ 2 }  }  }  }  \right]  }_{ 0 }^{ \tan { \dfrac { \alpha  }{ 2 }  }  }$$

$$\displaystyle =\dfrac { \pi  }{ 2\sin { \alpha  }  } $$

Let $$\displaystyle I=\int _{ \log  2 }^{ x } \frac { dx }{ \sqrt { e^{ x }-1 }  } =\frac { \pi  }{ 6 } $$

Put $${ e }^{ x }-1={ t }^{ 2 }$$

$$\displaystyle \Rightarrow 2\tan ^{ -1 }{ \sqrt { { e }^{ 2 }-1 }  } -\frac { \pi  }{ 2 } =\frac { \pi  }{ 6 } \Rightarrow \sqrt { { e }^{ 2 }-1 } =\tan { \frac { \pi  }{ 3 }  } =\sqrt { 3 } $$

$$\Rightarrow { e }^{ x }=4\Rightarrow x=\log { 4 } $$

Let $$\displaystyle I=\int { \frac { 1 }{ \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } dx } $$
Substitute $$x=\sin { t } \Rightarrow dx=\cos { t } dt$$
$$\displaystyle I=\int { \frac { 1 }{ \sin ^{ 2 }{ t } +1 } dt } $$
Multiply numerator and denominator by $$\csc ^{ 2 }{ t } $$
$$\displaystyle I=\int { \frac { \csc ^{ 2 }{ t }  }{ \csc ^{ 2 }{ t } +1 } dt } =\int { \frac { \csc ^{ 2 }{ t }  }{ \cot ^{ 2 }{ t } +2 } dt } $$
Substitute $$u=\cot { t } \Rightarrow du=-\csc ^{ 2 }{ t } dt$$
$$\displaystyle I=-\int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+2 } du } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \tan ^{ -1 }{ \frac { u }{ \sqrt { 2 }  }  } $$
$$\displaystyle =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \tan ^{ -1 }{ \frac { \cot { t }  }{ \sqrt { 2 }  }  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \tan ^{ -1 }{ \frac { \cot { \sin ^{ -1 }{ x }  }  }{ \sqrt { 2 }  }  } $$
Therefore
$$\displaystyle \int _{ 0 }^{ 1/\sqrt { 3 }  }{ \frac { 1 }{ \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } dx } =\frac { \pi  }{ 4\sqrt { 2 }  } $$

Given : $$\displaystyle \int _{ \alpha  }^{ \beta  }{ \cfrac { dx }{ \sqrt { (x-\alpha )(\beta -x) }  }  } $$

Let $$I=\int _{ -4 }^{ -5 } e^{ \left( x+5 \right) ^{ 2 } }dx+3\int _{ 1/3 }^{ 2/3 } e^{ 9\left( x-2/3 \right) ^{ 2 } }dx={ I }_{ 1 }+{ I }_{ 2 }$$
Where $${ I }_{ 1 }=\int _{ -4 }^{ -5 } e^{ \left( x+5 \right) ^{ 2 } }dx$$
Put $$x+5=t$$
$${ I }_{ 1 }=-\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ { t }^{ 2 } } } dt$$
And $${ I }_{ 2 }=3\int _{ 1/3 }^{ 2/3 } e^{ 9\left( x-2/3 \right) ^{ 2 } }dx$$
Put $$-3x+2=u$$
$${ I }_{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ { u }^{ 2 } } } du$$
$$\therefore I=0$$

$$\displaystyle \int _{ 4\pi -2 }^{ 4\pi  }{ \frac { \sin { t/2 }  }{ 4\pi +2-t } dt } =\frac { 1 }{ 2 } \int _{ 4\pi -2 }^{ 4\pi  }{ \frac { \sin { t/2 }  }{ 1+\left( 2\pi -\dfrac { t }{ 2 }  \right)  } dt } $$