Integrals Test - 53

$$I_{2}=\displaystyle \int _{0}^{\infty} \dfrac{x^2}{1+x^4}d{x}=\int^{\infty}_{0}\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^4}}d{x}$$

Let $$\displaystyle I=\int { \frac { dx }{ \left( 1+x^{ 2 } \right) \sqrt { 1-x^{ 2 } }  }  } $$

Substitute $$\displaystyle x=\frac { 1 }{ t } \Rightarrow dx=-\frac { 1 }{ { t }^{ 2 } } dt$$

$$\displaystyle I=\int { \frac { -tdt }{ \left( { t }^{ 2 }+1 \right) \sqrt { { t }^{ 2 }-1 }  }  } $$

Substitute $${ t }^{ 2 }-1={ u }^{ 2 }\Rightarrow 2tdt=2udu$$

$$\displaystyle I=-\int { \frac { udu }{ \left( { u }^{ 2 }+1 \right) u }  } =-\int { \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 } } du } $$

$$\displaystyle =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { u }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  } =-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { \sqrt { 2 } x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  }  \right)  } $$

Therefore $$\displaystyle \int _{ 0 }^{ 1 }{ Idx } =\frac { \pi  }{ 2\sqrt { 2 }  } $$

Let $$\displaystyle I=\int { \frac { 1 }{ x\sqrt { { 3x }^{ 2 }+2x-1 }  }  } dx=\int { \frac { 1 }{ x\sqrt { { \left( \sqrt { 3 } x+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 }  }  }  } dx$$

Put $$\displaystyle t=\sqrt { 3 } x+\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } \Rightarrow dt=\sqrt { 3 } dt$$

$$\displaystyle I=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } \int { -\frac { 1 }{ \left( \sqrt { 3 } -3t \right) \sqrt { { t }^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 }  }  }  } dt$$

$$\displaystyle =-3\int { \frac { 1 }{ \left( \sqrt { 3 } -3t \right) \sqrt { { t }^{ 2 }-\frac { 4 }{ 3 }  }  }  } dt$$

$$\displaystyle I=3\int { \frac { 2 }{ 3\sqrt { 3 } { s }^{ 2 }+\sqrt { 3 }  } ds } =2\sqrt { 3 } \int { \frac { 1 }{ 3{ s }^{ 2 }+1 } ds } $$

$$\displaystyle =2\tan ^{ -1 }{ \left( \sqrt { 3 } s \right)  } =\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x-1 }{ \sqrt { 3{ x }^{ 2 }+2x-1 }  }  \right)  } $$

$$\displaystyle \therefore \int _{ 1/2 }^{ 1 } { \frac { 1 }{ x\sqrt { { 3x }^{ 2 }+2x-1 }  }  } { dx } =\frac { \pi  }{ 6 } $$

Let  $$I_1=\displaystyle \int_{0}^{\infty }\displaystyle \frac{\log \left ( 1+x^{2} \right )}{1+x^{2}}\: dx$$    and   $$I_2= \displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{\log \left ( 1+x \right )}{1+x^{2}}\: dx$$
Put $$x=\tan\theta$$ in both integral
$$\Rightarrow dx=\sec^2\theta d\theta$$
$$I_1=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\displaystyle \frac{\log \left ( \sec^2\theta \right )}{\sec^2\theta}\cdot \sec^2\theta d\theta=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\cos^2\theta d\theta ......(1)$$
Also using $$\left( \int_0^a f(x)dx=\int_0^af(a-x)dx \right)$$
$$I_1 =\displaystyle -\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \sin^2\theta d\theta ........(2) $$
Adding (1) and (2) we get $$2I_1 = \displaystyle -2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin\theta\cos\theta)d\theta$$
$$\Rightarrow\displaystyle I_1=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log\frac{\sin2\theta}{2} d\theta =\log 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta- \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin2\theta)d\theta$$
Put $$2\theta =x\Rightarrow 2d\theta=dx$$
$$\Rightarrow \displaystyle I_1= \frac{\pi}{2}\log 2 -\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\log(\sin\theta)d\theta=\frac{\pi}{2}\log 2 -\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin\theta)d\theta=\frac{\pi}{2}\log 2+\frac{I_1}{2}$$, using (2)
$$\therefore \displaystyle I_1 =\pi\log 2$$
Now $$I_2=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan\theta)d\theta$$
$$\Rightarrow \displaystyle I_2 =\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta))d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}\right)d\theta$$
$$\displaystyle \Rightarrow I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(\frac{2}{1+\tan\theta}\right)d\theta=\log2\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta-\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan\theta)d\theta$$
$$\Rightarrow \displaystyle I_2=\frac{\pi}{4}\log 2-I_2 \Rightarrow I_2=\frac{\pi}{8}\log 2$$
Hence $$\lambda = \cfrac{I_1}{I_2}=8$$

$$\displaystyle I=\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { { x }^{ 2 }-2 }{ { x }^{ 3 }\sqrt { { x }^{ 2 }-1 }  } dx } $$
Put Put $$x=\sec { u } \Rightarrow dx=\tan { u } \sec { u } du$$
$$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cos ^{ 2 }{ u\left( \sec ^{ 2 }{ u } -2 \right)  } du } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left( 1-\sin ^{ 2 }{ u }  \right) \left( \sec ^{ 2 }{ u } -2 \right) du } $$
$$\displaystyle =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \left( 2\sin ^{ 2 }{ u } -\tan ^{ 2 }{ u } +\sec ^{ 2 }{ u } -2 \right)  } du=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ du } +2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \sin ^{ 2 }{ u } du } $$
$$\displaystyle =-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ du } -\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cos { 2udu }  } +\int _{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ du } =-{ \left[ \frac { \sin { 2u }  }{ 2 }  \right]  }_{ 0 }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }=0$$

Let $$\displaystyle I=\int _{ a }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 4 }\sqrt { { a }^{ 2 }+x^{ 2 } }  }  } dx$$

Substitute $$x=a\tan { t\Rightarrow  } dx=a\sec ^{ 2 }{ t } dt$$

$$\displaystyle I=a\int _{ \frac { \pi  }{ 4 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \frac { \cot ^{ 3 }{ t } \csc { t }  }{ { a }^{ 5 } }  } dt$$

$$\displaystyle =\frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } \int _{ \frac { \pi  }{ 4 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ \cot { t } \csc { t } \left( \csc ^{ 2 }{ t-1 }  \right) dt } $$

Substitute $$\upsilon =\csc { t } \Rightarrow d\upsilon =-\cot { t } \csc { t } dt$$

$$\displaystyle I=\frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } \int _{ \sqrt { 2 }  }^{ 1 }{ \left( { \upsilon  }^{ 2 }-1 \right)  } d\upsilon $$

$$\displaystyle =\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \left[ \frac { { \upsilon  }^{ 2 } }{ 3 } -\upsilon  \right] _{ \sqrt { 2 }  }^{ 1 }{ =\frac { 2-\sqrt { 2 }  }{ { 3a }^{ 4 } }  }$$

Let $$\displaystyle I=\int _{ 1/2 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ x } \csc ^{ 101 }{ \left( x-\frac { 1 }{ x }  \right)  } dx } $$

$$\displaystyle I=\int _{ 0 }^{ 16 }{ \frac { \sqrt [ 4 ]{ x }  }{ 1+\sqrt { x }  } dx } $$

Put $$\displaystyle u=\sqrt [ 4 ]{ x } \Rightarrow du=\frac { 1 }{ 4{ x }^{ \frac { 3 }{ 4 }  } } dx$$

$$\displaystyle I=4\int _{ 0 }^{ 2 }{ \left( { u }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 } -1 \right)  } du$$

$$\displaystyle =4\int _{ 0 }^{ 2 }{ { u }^{ 2 } } du+4\int _{ 0 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ { u }^{ 2 }+1 } du } -4\int _{ 0 }^{ 2 }{ du } $$

$$\displaystyle =4\left[ \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 }  \right] _{ 0 }^{ 2 }{ + }4\left[ \tan ^{ -1 }{ u }  \right] _{ 0 }^{ 2 }-4\left[ u \right] _{ 0 }^{ 2 }$$

$$\displaystyle =4\left( \frac { 2 }{ 3 } +\tan ^{ -1 }{ 2 }  \right) $$

Let $$\displaystyle I=\int _{ -\pi /2 }^{ \pi /2 } \frac { \sin  2x }{ \sqrt { 1+\sin  2\alpha \sin  x }  } =2\int _{ -\pi /2 }^{ \pi /2 } \frac { \sin { x } \cos { x }  }{ \sqrt { 1+\sin  2\alpha \sin  x }  } dx$$

Substitute $$t=\sin { x } \Rightarrow dt=\cos { x } dx$$
$$\displaystyle I=2\int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { t }{ \sqrt { t\sin { 2\alpha  } +1 }  } dt } $$

Substitute $$u=t\sin { 2\alpha  } \Rightarrow du=\sin { 2\alpha  } dt$$
$$\displaystyle I=\int _{ 1-\sin { 2\alpha  }  }^{ 1+\sin { 2\alpha  }  }{ 2\csc ^{ 2 }{ 2\alpha  } \frac { u-1 }{ \sqrt { u }  }  } $$

$$\displaystyle { \left[ \frac { 4 }{ 3 } { u }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }\csc ^{ 2 }{ 2\alpha  } -4\sqrt { 5 } \csc ^{ 2 }{ 2\alpha  }  \right]  }_{ 1-\sin { 2\alpha  }  }^{ 1+\sin { 2\alpha  }  }$$

$$\displaystyle =-\frac { 4 }{ 3 } \cot { \alpha  } \csc { \alpha  } $$